Question

已知拋物線y=ax²+2x+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)D到點(diǎn)B、C的距離之和最小，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在第一象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）（2）（1，2）（3）存在，（ ，）

解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（0，3），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為：。
（2）∵，∴對(duì)稱軸為x=1。
令，解得x₁=3，x₂=－1，∴C（－1，0）。
如圖1所示，連接AB，與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)即為所求之D點(diǎn)，

由于A、C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則此時(shí)DB+DC=DB+DA=AB最小。
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
由A（3，0）、B（0，3）可得：
，解得。
∴直線AB解析式為y=－x＋3。
當(dāng)x=1時(shí)，y=2，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）。
（3）結(jié)論：存在。
如圖2，設(shè)P（x，y）是第一象限的拋物線上一點(diǎn)，
過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，

則ON=x，PN=y，AN=OA－ON=3－x．


∵P（x，y）在拋物線上，∴，代入上式得：
。
∴當(dāng)x= 時(shí)，S_△ABP取得最大值。
當(dāng)x=  時(shí)，，∴P（， ）。
∴在第一象限的拋物線上，存在一點(diǎn)P，使得△ABP的面積最大，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，）。
（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
（2）連接AB，與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)即為所求之D點(diǎn)．為求D點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線AB的解析式，然后令x=1求得y，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)。
（3）求出△ABP的面積表達(dá)式．這個(gè)表達(dá)式是一個(gè)關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法可以確定P點(diǎn)的坐標(biāo)。