Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，過O點作EF∥AD分別交AB，CD于點E，F(xiàn)．
（1）下面是小明對“△AOB與△DOC是否相似”的解答：
解：△AOB∽△DOC理由如下：
∵AD∥BC（　�。�
∴△AOD∽△COB
∴

OA

OC

=

OD

OB

（　�。�
又∵∠AOB=∠DOC（　�。�
∴△AOB∽△DOC（　�。�
你認(rèn)為小明的每一步解答過程是否正確？若正確，請在括號內(nèi)填上理由；若不正確，請在該步驟后面的括號內(nèi)打“×”．
（2）OE與OF有何關(guān)系？為什么？
（3）試求出

OE

AD

+

OF

BC

的值．

Answer 1

分析：（1）△AOB∽△DOC．理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴△AOD∽△COB．
∴

OA

OC

=

OD

OB

（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）．
又∵∠AOB=∠DOC（對頂角相等），
∴△AOB∽△DOC（×）不能得到△AOB∽△DOC，
是∵

OA

OC

，

OD

OB

不是△AOB與△DOC的對應(yīng)邊的比．
（2）由于有

AC

OC

=

BD

OB

，

AD

OF

=

AD

OE

分別成立，故OF=OE成立
（3）由于

OE

AD

=

OB

BD

，

OF

BC

=

OD

BD

成立，再式相加，即得出

OE

AD

+

OF

BC

=1

解答：解：（1）（已知）；（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）；（對頂角相等）；（×）

（2）OE=OF理由如下：
∵AD∥BC，
∴

OA

OC

=

OD

OB

．
∴

AC

OC

=

BD

OB

．
又∵EF∥AD，
∴

AD

OF

=

AC

OC

AD

OE

=

BD

OB

．
∴

AD

OF

=

AD

OE

．
∴OF=OE．

（3）∵EF∥AD∥BC，
∴

OE

AD

=

OB

BD

OF

BC

=

OD

BD

．
∴

OE

AD

+

OF

BC

=

OB

BD

+

OD

BD

=1．

點評：本題利用了平行線的性質(zhì)：平行線分對應(yīng)線段成比例，相似三角形的性質(zhì)求解．