Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發(fā)，沿邊CA往A運動，當(dāng)運動到點A時停止，若設(shè)點D運動的時間為t秒，點D運動的速度為每秒1個單位長度
（1）當(dāng)t=2時，CD=______，AD=______；（請直接寫出答案）
（2）當(dāng)△CBD是直角三角形時，t=______；（請直接寫出答案）
（3）求當(dāng)t為何值時，△CBD是等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

解：（1）t=2時，CD=2×1=2，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC===10，
AD=AC-CD=10-2=8；

（2）①∠CDB=90°時，S_△ABC=AC•BD=AC•BC，
即×10•BD=×8×6，
解得BD=4.8，
∴CD===3.6，
t=3.6÷1=3.6秒；
②∠CBD=90°時，點D和點A重合，
t=10÷1=10秒，
綜上所述，t=3.6或10秒；
故答案為：（1）2，8；（2）3.6或10秒；

（3）①CD=BD時，如圖1，過點D作DE⊥BC于E，
則CE=BE，
∴CD=AD=AC=×10=5，
t=5÷1=5；
②CD=BC時，CD=6，t=6÷1=6；
③BD=BC時，如圖2，過點B作BF⊥AC于F，
則CF=3.6，
CD=2CF=3.6×2=7.2，
∴t=7.2÷1=7.2，
綜上所述，t=5秒或6秒或7.2秒時，△CBD是等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)CD=速度×?xí)r間列式計算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)AD=AC-CD代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；
（2）分①∠CDB=90°時，利用△ABC的面積列式計算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根據(jù)時間=路程÷速度計算；②∠CBD=90°時，點D和點A重合，然后根據(jù)時間=路程÷速度計算即可得解；
（3）分①CD=BD時，過點D作DE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=BE，從而得到CD=AD；②CD=BC時，CD=6；③BD=BC時，過點B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF，再由（2）的結(jié)論解答．
點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，（2）（3）難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．