Question

（2004•十堰）在平面直角坐標系xoy中，已知A（4，0）、B（0，3），P是線段AB上一動點（與點A、B不重合），Q是線段OA上一動點（與點O、A不重合），C為OQ的中點．
（1）求直線AB的解析式：
（2）過點C作AB的垂線，垂足為D，設(shè)OC=x，CD=d，寫出d與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）當OQ=3時，以O(shè)Q為直徑作圓C，試判斷直線AB與圓C的位置關(guān)系；
（4）當PQ與x軸垂直時△OPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段OQ的長的取值范圍：若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將A（4，0），B（0，3）的坐標代入利用待定系數(shù)法求得，y=-x+3；
（2）先證明△ACD∽△ABO，利用其成比例線段可求得d=-x+（0＜x＜4）；
（3）當OQ=3時，圓C的半徑為，即x=此時圓心C到直線AB的距離d=，所以d=x，即直線AB與圓C相切；
（4）不仿設(shè)圓C與直線AB的切點為M，當PQ不與X軸垂直時，要使△OPQ為直角三角形，須使∠OPQ=90°；
當OQ＜3時，圓C與直線相離，∠OPQ＜90°，
當OQ=3時，圓c與直線相切，
P點與M點重合．∠OPQ=90°，
當3＜OQ＜4時，圓c與線段AB有兩個交點滿足題設(shè)條件．所以當3≤OQ＜4時，△OPQ可為直角三角形．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），（1分）
將A（4，0），B（0，3）的坐標代入有：?，
∴y=-x+3；（2分）

（2）△ACD∽△ABO
∴
∴d=，
即：d=-x+（0＜x＜4）；（5分）

（3）當OQ=3時，圓C的半徑為（2分），即x=，（3分）
此時圓心C到直線AB的距離d=，
∴d=x，即直線AB與圓C相切；（8分）

（4）不妨設(shè)圓C與直線AB的切點為M，當PQ不與X軸垂直時，要使△OPQ為直角三角形，須使∠OPQ=90°，（9分）
當OQ＜3時，圓C與直線相離，∠OPQ＜90°，（10分）
當OQ=3時，圓c與直線相切，P點與M點重合．∠OPQ=90°，（11分）
當3＜OQ＜4時，圓c與線段AB有兩個交點滿足題設(shè)條件．
∴當3≤OQ＜4時，△OPQ可為直角三角形．（12分）
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象上點的意義和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并會用相似三角形的性質(zhì)求得對應(yīng)線段之間的關(guān)系，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系．
試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會．