Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=4，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°，使點B落在點E處，點C落在點D處．P、Q分別為線段AC、AD上的兩個動點，且AQ=2PC，連接PQ交線段AE于點M．
（1）設AQ=x，△APQ面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出它的定義域；
（2）若以點P為圓心，PC為半徑的圓與邊AB相切，求AQ的長；
（3）是否存在點Q，使得△AQM、△APQ和△APM這三個三角形中一定有兩個三角形相似？若存在請求出AQ的長；若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1過點Q作QH⊥AC，垂足為H，
∵△ABC繞點A逆時針旋轉60°，
∴∠DAC=60°，△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=30°，∠EAC=30°，
∴在直角三角形AQH中，
∴QH=．
∵AQ=2PC，AC=4，
∴PC=AP=，
∴，
∴y=（4-x）•x=-x²+x（0＜x≤4）；
（2）如圖2過點P作PF⊥AB，垂足為F．
∵以點P為圓心，PC為半徑的圓與邊AB相切，
∴PC=P．F
在直角三角形APF中，，
∴，
∴．
即：若以點P為圓心，PC為半徑的圓與邊AB相切，則AQ的長為；

（3）假設存在點Q，使得△AQM、△APQ和△APM這三個三角形中一定有兩個三角形相似．
①如圖3，當△AQM與△APQ相似時，
∵∠AQM=∠PQA，∠QAM≠∠QAP，
∴∠QAM=∠QPA=30°，
∴∠PQA=90°，
∴，
∴；
②當△APQ與△APM相似時，
∵∠APQ=∠APM，∠QAM≠∠QAP，
∴∠PAM=∠PQA=30°，
∴∠QPA=90°，
∴，
∴x=4；
③如圖4，當△AQM與△APM相似時，
∵∠QAM=∠PAM=30°，∠AQM≠∠AMP，
∴∠AQM=∠APM，
∴AQ=AP，
∴，
∴．
∴當AQ為或4或時，△AQM、△APQ和△APM這三個三角形中一定有兩個三角形相似．
分析：（1）設AQ=x，即可利用x表示出AP的長，然后根據△APQ的面積=AQ•AP•sin∠QAP，即可求解；
（2）過點P作PF⊥AB，垂足為F，則PC=PF，直角三角形APF中根據邊角關系即可求解；
（3）△AQM、△APQ和△APM這三個三角形有兩個三角形相似，即可分成3種情況進行討論，再根據sin∠QPA=，即可得到關于AQ的方程，從而求解．
點評：本題主要考查了旋轉的性質，以及相似三角形的判定與性質，正確進行討論，利用sin∠QPA=這一關系是解題的關鍵．