Question

19．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將長(zhǎng)方形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，點(diǎn)P為折痕EF上的一點(diǎn)，PG⊥BE，PH⊥BF，則PG+PH=4．

Answer 1

分析 過點(diǎn)E作EQ⊥BF，垂足為Q，過點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，連接DF，如圖，由矩形的性質(zhì)得到AD=BC=9cm，CD=AB=3cm，∠C=∠ADC=90°．根據(jù)勾股定理得到CF=4，得到BF=BC-CF=AD-CF=5，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EQ=DC=4．推出BE=BF，連接PB，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：過點(diǎn)E作EQ⊥BC，垂足為Q，連接DF，如圖，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=9cm，CD=AB=3cm，∠C=∠ADC=90°．
由折疊可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF．
∵∠C=90°，∴DC²+CF²=DF²，
∴3²+CF²=（9-CF）²，
∴CF=4，
∴BF=BC-CF=AD-CF=5，
∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，
∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．
∴四邊形EQCD是矩形，
∴EQ=DC=4．
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB．
∵∠BEF=∠DEF，
∴∠BEF=∠EFB．
∴BE=BF，
連接PB，
∴S_△BEF=S_△BEP+S_△BPF，
即$\frac{1}{2}$BF•EQ=$\frac{1}{2}$BE•PG+$\frac{1}{2}$BF•PH=$\frac{1}{2}$BF•PG+$\frac{1}{2}$BF•PH，
∴PH+PG=EQ，
∴PG+PH=4．
即PG+PH的值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、三角形的面積的計(jì)算，勾股定理等知識(shí)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．