Question

如圖，有一邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一條直線(xiàn)l上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直線(xiàn)l按箭頭所示方向開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，t秒后正方形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積為Scm²．解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，求S的值；
（2）當(dāng)t=5秒時(shí)，求S的值；
（3）當(dāng)5秒≤t≤8秒時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=3時(shí)，CQ=3，過(guò)P作PE⊥QR于E，易求得PE的長(zhǎng)和△QPE的面積，設(shè)PQ交CD于G，由于CG∥PE，可證得△CQG∽△EQP，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得到S的值．
（2）當(dāng)t=5時(shí)，Q、B重合，線(xiàn)段PR與CD相交，設(shè)PR與CD相交于G，可仿照（1）的方法求得△RCG的面積，從而由△RPQ、△RCG的面積差求得陰影部分的面積．
（3）當(dāng)5≤t≤8時(shí)，AB與PQ相交，RP與CD相交，仿照（1）的方法，可求得正方形外部的兩個(gè)小三角形的面積，進(jìn)而可參照（2）的方法求得陰影部分的面積表達(dá)式，由此可得到關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到S的最大值．

解答：解：（1）作PE⊥QR，E為垂足．
∵PQ=PR，
∴QE=RE=

1

2

QR=4，
在Rt△PEQ中
∴PE=

52-42

=3；（1分）
當(dāng)t=3時(shí)，QC=3，設(shè)PQ與DC交于點(diǎn)G．
∵PE∥DC，
∴△QCG∽△QEP．（2分）
∴

S

S△QEP

=(

3

4

)2，
∵S_△QEP=

1

2

×4×3=6，
∴S=(

3

4

)2×6=

27

8

（cm²）．（3分）

（2）當(dāng)t=5時(shí)，CR=3．
設(shè)PR與DC交于G，由△RCG∽△REP，可求出CG=

9

4

，
所以，S_△RCG=

1

2

×3×

9

4

=

27

8

（cm²），（5分）
S=12-

27

8

=

69

8

（cm²）．（6分）

（3）當(dāng)5≤t≤8時(shí)，QB=t-5，RC=8-t，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)H，
由△QBH∽△QEP，EQ=4，∴BQ：EQ=（t-5）：4，
∴S_△BQH：S_△PEQ=（t-5）²：4²，又S_△PEQ=6，
∴S_△QBH=

3

8

（t-5）²（7分）
由△RCG∽△REP，同理得S_△RCG=

3

8

（8-t）²（8分）
∴S=12-

3

8

（t-5）²-

3

8

（8-t）²．即S=-

3

4

t2+

39

4

t-

171

8

（9分）
當(dāng)t=-

39 4

2×(- 3 4 )

=

13

2

時(shí)，S最大，S的最大值=

4ac-b2

4a

=

165

16

（cm²）．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)（相似三角形的面積比等于相似比的平方）是解答此題的關(guān)鍵．