Question

八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)合作小組在學(xué)過(guò)《圖形的相似》這一章后，發(fā)現(xiàn)可將相似三角形的定義、判定以及性質(zhì)拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我們可以定義：“長(zhǎng)和寬之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性質(zhì)：相似矩形的對(duì)角線之比等于相似比，周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方等等．請(qǐng)你參與這個(gè)學(xué)習(xí)小組，一同探索這類問(wèn)題：
（1）寫出判定菱形相似的一種判定方法：若有一組角對(duì)應(yīng)相等（或兩組對(duì)角線對(duì)應(yīng)成比例），則這兩個(gè)菱形相似；
（2）如圖，將菱形ABCD沿著直線AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，試證明：四邊形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；
（3）若AC=，菱形A′FCE的面積是菱形ABCD面積的一半，求平移的距離AA′的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：相似多邊形的面積的比等于相似比的平方，因而已知面積的比，就可以求出邊長(zhǎng)的比，求出A′C的長(zhǎng)就可以解決．
解答：解：（1）有一組角對(duì)應(yīng)相等（或兩組對(duì)角線對(duì)應(yīng)成比例）；（3分）

（2）利用AD∥A′E，AB∥A′F，得∠DAB=∠D′A′B′
再利用（1）的結(jié)論，得到證明；（6分）

（3）∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面積是菱形ABCD面積的一半，
∴菱形ABCD與菱形A′FCE的面積比為2：1，
∴對(duì)應(yīng)邊之比為：1，即AC：A′C=：1，（7分）
∵AC=，
∴A′C=1，（9分）
∴AA′=-1．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要運(yùn)用了相似多邊形的性質(zhì)，面積的比等于相似比的平方．