Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E。

（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長度；
（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由。

Answer 1

（1）證明：連接DO， ∵∠ACB=90°，AC為直徑， ∴EC為⊙O的切線， 又∵ED也為⊙O的切線， ∴EC=ED， 又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠BDE+∠A=90°， 又∵∠B+∠A=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED， ∴EB=EC，即點E是邊BC的中點。
（2）解：∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線， ∴BC2=BD·BA， ∴（2EC）2= BD·BA， 即BA·=36，∴BA=， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 。 （3）△ABC是等腰直角三角形。 理由：∵四邊形ODEC為正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC， 又∵點E是邊BC的中點， ∴BC=2OD=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形。