Question

如圖，已知：在矩形ABCE中，點(diǎn)D是線段AE上的一個(gè)點(diǎn)，AB=3，AD=2，連接CD，過點(diǎn)D作PD⊥CD，交AB于點(diǎn)P．
（1）求證：△APD∽△EDC；
（2）求

PD

CD

的值；
（3）當(dāng)△APD與△DPC相似時(shí)，求線段BC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠A=∠E=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得到∠APD=∠CDE，然后根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到△APD∽△EDC；
（2）由于△APD∽△EDC，利用相似比可計(jì)算得

PD

CD

=

AD

CE

=

2

3

；
（3）分類討論：由△APD∽△EDC，所以當(dāng)△APD∽△DPC時(shí)，則△EDC∽△DPC，利用相似比可計(jì)算出DE，從而得到BC；當(dāng)△APD∽△DCP時(shí)，則△EDC∽△DCP，利用相似比可計(jì)算出DE，從而得到BC．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠E=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∵PD⊥DC，
∴∠ADP+∠CDE=90°，
∴∠APD=∠CDE，
∴△APD∽△EDC；

（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴EC=AB=3，
∵△APD∽△EDC，
∴

PD

CD

=

AD

CE

=

2

3

；

（3）∵△APD∽△EDC；
∴當(dāng)△APD∽△DPC時(shí)，則△EDC∽△DPC，
∴

DE

DP

=

CE

DC

，
∴DE=

DP

DC

•CE=

2

3

×3=2，
∴AE=AD+DE=4，
∴BC=4；
當(dāng)△APD∽△DCP時(shí)，則△EDC∽△DCP，
∴

DE

DC

=

EC

DP

，
∴DE=

DC

DP

•CE=

3

2

×3=

9

2

∴AE=AD+DE=

13

2

，
∴BC=

13

2

，
即線段BC的長為4或

13

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．也考查了矩形的性質(zhì)．