Question

如圖，把一塊含45°的直角三角板AOB放置在以O(shè)為原點的直角坐標(biāo)系中，A點的坐標(biāo)為（0，2），直線x=2交x軸于點B．P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交直線x=2于點C．過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=2于點N．
（1）填空：∠NPB=______度；
（2）當(dāng)點C在第一象限時，
①試判斷PO與PC的大小關(guān)系，并加以證明；
②設(shè)AP長為m，四邊形POBC的面積為S，請求出S與m間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=2上移動，以點B為圓心，BC長為半徑作⊙B，求線段PN與⊙B有一個交點時，t的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出MN∥OB，求出∠NPB=∠ABO即可；
（2）①證等腰△AOB、△AMP、△PNB，推出PN=BN=OM，推出∠NPC=∠MOP，證△OPM≌△PCN即可；②求出AM、OM，計算出矩形的面積減去兩個△MOP的面積即可；
（3）①當(dāng)點P與點A重合時，求出P的坐標(biāo)；
②當(dāng)點P恰好在⊙B上時，點C在第四象限，此時BP=BC，求出m，求出PM，OM即可；當(dāng)MN與⊙B相切時，證△OPM≌△PCN，推出PC=OP，求出PM、OM即可．
解答：（1）解：∵M(jìn)N∥OB，OA∥BN，∠AOB=90°，
∴四邊形MOBN是矩形，
∴MN∥OB，
∴∠NPB=∠ABO=45°，
故答案為：45．

（2）①PO=PC；
證明：
∵OM∥BN，MN∥OB，
∴四邊形OBNM是矩形，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴△AOB、△AMP、△PNB是等腰直角三角形，
∴PN=BN=OM，
∵∠MPO+∠NPC=90°，∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠NPC=∠MOP，
又∠OMP=∠PNC=90°，
∴△OPM≌△PCN，
∴PO=PC．

②依題意可得：，
∴．
∴=

（3）①當(dāng)點P與點A重合時，點P、M、A三點重合，點C、N重合，由PC⊥BC，則線段PN與⊙B相切，即PN與⊙B有交點，此時PC=2，P（0，2）；
②當(dāng)點P恰好在⊙B上時，點C在第四象限，此時BP=BC，
∴，即
∴m=2，
∴，
∴
當(dāng)MN與⊙B相切時，此時BC=BN=PN，
同理可證得：△OPM≌△PCN，則PC=OP，PN=OM，NC=MP，則MP+PN=CN+PN=3PN=MN，
故，，∴
綜上，當(dāng)t=0或時，線段PN與⊙B有一個交點．
點評：本題主要考查對等腰直角三角形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直線與圓的位置關(guān)系等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．