Question

8．如圖，已知直線y=$\frac{1}{3}$x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．
（1）求點C的坐標與線段AD的長；
（2）點M在CD上，且CM=OM，求直線OM的解析式；
（3）把OM向左平移，使之經(jīng)過點A，求平移后的OM的解析式．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得A、B坐標，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得OC和OD，則可求得AD的長；
（2）由勾股定理可求得CD的長，由條件可證得MD=MO，則可得M為CD的中點，利用待定系數(shù)法可求得直線OM的解析式；
（3）根據(jù)直線OM的解析式可設(shè)出直線AM的解析式，把A點坐標代入可求得直線AM的解析式．

解答 解：
（1）在y=$\frac{1}{3}$x+1中，令y=0可得$\frac{1}{3}$x+1=0，解得x=-3，
令x=0可得y=1，
∴A（-3，0），B（0，1），
∵將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD，
∴OC=OA=3，OD=OB=1，
∴C（0，3），AD=OA+OD=3+1=4；
（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠MOC，
∵∠OCM+∠MDO=90°=∠COM+∠MOD，
∴∠MOD=∠MDO，
∴MD=OM，
∴M為CD中點，
∴M（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線OM解析式為y=kx，
∴$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$k，解得k=3，
∴直線OM解析式為y=3x；
（3）可設(shè)平移后的OM的解析式為y=3x+b，
∵OM向左平移后經(jīng)過點A，
∴0=-9+b，解得b=9，
∴平移后的OM的解析式為y=3x+9．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應用，涉及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定、待定系數(shù)法及平移的性質(zhì)．在（1）中利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得OC、OD的長是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得M點的坐標是解題的關(guān)鍵，在（3）中利用平移前后直線解析式中的k相等是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．