Question

如圖，一個隧道的橫截面成拋物線形，它的底部寬12米、高6米．車輛在此隧道可以雙向通行，但規(guī)定車輛必須在隧道的中心線右側(cè)、距離路邊緣2米這一范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道的空隙不少于

1

3

米．
（1）畫出以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系；
（2）在第（1）小題的基礎(chǔ)上，求該隧道橫截面的拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）你能否根據(jù)題中的要求，應(yīng)用已有的二次函數(shù)知識，確定通過隧道車輛的高度不能超過多少米？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意作出坐標(biāo)系即可；
（2）設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²，找出函數(shù)圖象上的坐標(biāo)，求出函數(shù)解析式即可；
（3）根據(jù)題意，求出當(dāng)x=6-2時y的值，根據(jù)車輛頂部與隧道的空隙不少于

1

3

米可得出不等式，從而得出通過隧道車輛的高度的最大值．

解答：解：（1）畫出以拋物線的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系如圖示：

（2）可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax² （a＜0），
把點(diǎn)B（6，-6）坐標(biāo)代入上式，得-6=a×6²，
解得：a=-

1

6

，
故y=-

1

6

x²  （-6≤x≤6）．
（3）如圖示，用線段EF表示通過隧道車輛的高度h米，延長FE交拋物線于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，
根據(jù)題意，則CE=DF-EF-CD=6-h-|y|=6-h-

1

6

x²≥

1

3

，
整理得：h≤-

1

6

x²+

17

3

（-4≤x≤4，且 x≠0 ）．
∵a=-

1

6

＜0，
∴當(dāng)0＜x≤4時，二次函數(shù)h隨x的增大而減�。�
 當(dāng)x=4時，函數(shù)h取得最小值，最小值為 h=-

1

6

×4²+

17

3

=3，
∴h≤3．
所以，通過隧道車輛的高度不能超過3米．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得知識，解答本題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，難度一般．