Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動(dòng)，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動(dòng)，直到點(diǎn)N與點(diǎn)B重合為止．
（1）等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由

 

形變化為

 

形；
（2）設(shè)當(dāng)?shù)妊�直角三角形PMN移動(dòng)x（s）時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm²），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)x=4（s）時(shí)，求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）等腰直角三角；等腰梯
（2）本題應(yīng)分兩種情況討論討論．①當(dāng)0＜x≤6時(shí)，重疊部分的形狀為等腰直角三角形EAN，斜邊AN就是MN的長(zhǎng)減去移動(dòng)的距離．②當(dāng)6＜x≤10時(shí)，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED，梯形的底角是45°，上底DE是CD減去移動(dòng)的距離，下底AN是MN減去移動(dòng)的距離．因而MN及就可以用△PAM移動(dòng)的距離來(lái)表示．就可以得到函數(shù)解析式．
（3）把x=4（s）代入函數(shù)解析式，就可以求出重合部分的面積．

解答：解：（1）等腰直角三角形；等腰梯形（答出三角形，梯形也給分）．（2分）


（2）當(dāng)D點(diǎn)在PN上時(shí)，DN∥BC，NA=AB-CD=10-4=6，
等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動(dòng)過程中與等腰梯形ABCD重疊部分圖形的形狀可分為以下兩種情況：
①當(dāng)0≤x≤6時(shí)，重疊部分的形狀為等腰直角三角形EAN（如圖①）．（3分）
此時(shí)AN=x（cm），過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，則EH平分AN，
∴EH=

1

2

AN=

1

2

x，（4分）
∴y=S_△ANE=

1

2

AN•EH=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²．（6分）
②當(dāng)6＜x≤10時(shí)，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED（如圖②）．（7分）
此時(shí)，AN=x（cm），
∵AD=BC，∠DAF=45°，
∴∠B=∠DAF=45°
∵∠PNM=∠B=45°，
∴EN∥BC，
∵CE∥BN，
∴四邊形ENBC是平行四邊形，CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6．（8分）
過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，
則AF=BG，DF=AF=

1

2

（10-4）=3，（9分）
∴y=S_梯形ANED=

1

2

（DE+AN）•DF=

1

2

（x-6+x）×3=3x-9．（10分）

（3）當(dāng)?shù)妊�直角三角形PMN移動(dòng)到PN邊經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，移動(dòng)時(shí)間為6（s），
∴當(dāng)x=4（s）時(shí)，y=

1

4

x²=

1

4

×4²=4．
∴當(dāng)x=4（s）時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積是4cm²．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角形、梯形的有關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生應(yīng)用運(yùn)動(dòng)觀念，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想的能力和分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法．