Question

已知一次函數(shù)的圖象分別交x軸，y軸于A，C兩點(diǎn)．
（1）求出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找出點(diǎn)B，使△ACB∽△AOC，若拋物線過A，B，C三點(diǎn)，求出此拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同速度沿AC、BA向C，A運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出所有m值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令直線的解析式中y=0可得出A的坐標(biāo)，令x=0，可得出C的坐標(biāo)．
（2）要使△ACB∽△AOC，則B點(diǎn)必為過C點(diǎn)且垂直于AC的直線與x軸的交點(diǎn)．那么根據(jù)射影定理不難得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．
（3）本題可分兩種情況進(jìn)行求解：①當(dāng)PQ∥BC時(shí)，△APQ∽△ACB；②當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，△APQ∽△ACB．可根據(jù)各自得出的不同的對(duì)應(yīng)成比例線段求出m的值．
解答：解：（1）在一次函數(shù)中，當(dāng)x=0時(shí)，y=-12；
當(dāng)y=0時(shí)，x=-16，即A（-16，0），C（0，-12）

（2）過C作CB⊥AC，交x軸于點(diǎn)B，顯然，點(diǎn)B為所求．
則OC²=OA•OB，此時(shí)OB=9，可求得B（9，0）；
此時(shí)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=x²+x-12

（3）當(dāng)PQ∥BC時(shí)，如圖（1），△APQ∽△ACB；則有：
，即，
解得m=．
當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，△APQ∽△ACB；有：
，即，
解得m=．



點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．