Question

設(shè)拋物線y=x²+2ax+b與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
（1）將拋物線沿y軸平移，使所得拋物線在x軸上截得的線段的長是原來的2倍，求平移所得拋物線的解析式；
（2）通過（1）中所得拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)及原拋物線的頂點(diǎn)作一條新的拋物線，求新拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)平移所得拋物線的解析式為y=x²+2ax+b+m，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)的距離公式得到

4a2-4(b+m)

=2

4a2-4b

，解得m=3b-3a²，則平移所得拋物線的解析式為y=x²+2ax+4b-3a²；
（2）先確定y=x²+2ax+b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，b-a²），由于通過（1）中所得拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則可設(shè)新拋物線解析式為y=t（x²+2ax+4b-3a²），
然后把（-a，b-a²）代入可求出t=

1

4

．

解答：解：（1）設(shè)平移所得拋物線的解析式為y=x²+2ax+b+m，
根據(jù)題意得

4a2-4(b+m)

=2

4a2-4b

，
解得m=3b-3a²，
所以平移所得拋物線的解析式為y=x²+2ax+b+3b-3a²=x²+2ax+4b-3a²；

（2）y=x²+2ax+b=（x+a）²+b-a²，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，b-a²），
∵新拋物線的表達(dá)式過拋物線y=x²+2ax+4b-3a²與x軸兩交點(diǎn)，
∴可設(shè)新拋物線解析式為y=t（x²+2ax+4b-3a²），
把（-a，b-a²）代入得b-a²=t（a²-2a²+4b-3a²），解得t=

1

4

，
所以新拋物線的表達(dá)式過拋物線y=

1

4

x²+

1

2

ax+b-

3

4

a²．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．