Question

如圖，AB為⊙0的直徑，DC、DA、CB分別切⊙O于G、A、B，OE⊥BD于F，交BC的延長線于E，連CF．
（1）求證：

BC

OB

=

OA

AD

；
（2）若tan∠ABD=

3

4

，求tan∠CFE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接OC，OD，由DC、DA、CB分別切⊙O于G、A、B，根據(jù)切線的性質(zhì)與切線長定理，可證得∠COD=90°，繼而可證得△DOA∽△OCB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；
（2）由tan∠ABD=

3

4

，可證得CB=

2

3

OB，易證得C是BE的中點(diǎn)，繼而可得∠CFE=∠CEF=∠ABD，則可證得結(jié)論．

解答：（1）證明：連接OC，OD，
∵DC、DA、CB分別切⊙O于G、A、B，
∴∠A=∠OBC=90°，∠ODA=∠ODG=

1

2

∠ADG，∠OCB=∠OCG=

1

2

∠BCG，
∵∠ADG+∠BCG=180°，
∴∠ODG+∠OCG=90°，
∴∠COD=90°，
∴∠AOD+∠BOC=90°，
∵∠AOD+∠ODA=90°，
∴∠ODA=∠BOC，
∴△DOA∽△OCB，
∴

BC

OB

=

OA

AD

；

（2）解：∵tan∠ABD=

3

4

，
∴

AD

AB

=

3

4

，
∵OA=OB=

1

2

AB，
∴

CB

OB

=

OA

AD

=

2

3

，
∴CB=

2

3

OB，
在Rt△OBE中，BF⊥OE，
∴∠BEO=∠ABD，
∴tan∠OEB=tan∠ABD=

3

4

，
即

OB

BE

=

3

4

，
∴BE=

4

3

OB，
∴BC=

1

2

BE，
即C是BE的中點(diǎn)，
∵BF⊥FE，
∴CF=CE=

1

2

BE，
∴∠CFE=∠CEF=∠ABD，
∴tan∠CFE=tan∠ABD=

3

4

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．