Question

13．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC，點D是直線BC上的動點，過點D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F．

（1）如圖1所示，當點D與點B重合時，延長BA，CM交點N，證明：DF=2EC；
（2）當點D在直線BC上運動時，DF和EC是否始終保持上述數(shù)量關系呢？請你在圖2中畫出點D運動到CB延長線上某一點時的圖形，并證明此時DF與EC的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）延長BA，CM交點N，先證明BC=BN，得出CN=2CE，再證明△BAF≌△CAN，得出對應邊相等BF=CN，即可得出結論；
（2）作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，先證明PD=CD，得出PC=2CE，再證明△DNF≌△PNC，得出對應邊相等DF=PC，即可得出結論．

解答 解：（1）如圖（1），延長BA，CM交點N，

∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°，
∴∠BCM=67.5°，
∴∠BNC=67.5°=∠BCM，
∴BC=BN，
∵BE⊥CE，
∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，
∴∠ABE=∠ACM=22.5°，
在△BAF和△CAN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠NAC=90°}\\{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACM}\end{array}\right.$，
∴△BAF≌△CAN（ASA），
∴BF=CN，
∴BF=2CE；
（2）保持上述關系；DF=2CE；
證明如下：
作∠PDE=22.5，交CE的延長線于P點，交CA的延長線于N，
如圖（2）所示：
∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，
∴∠EDC=22.5°，
∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，
∴∠DPC=67.5°，
∴PD=CD，
∴PE=EC，
∴PC=2CE，
∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，
∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，
∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，
在△DNF和△PNC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DNC=∠PNC}\\{ND=NC}\\{∠PDE=∠PCN}\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△PNC（ASA），
∴DF=PC，
∴DF=2CE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)；通過作輔助線證明等腰三角形和全等三角形是解決問題的關鍵．