Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB解析式為：y=-

3

3

x+

3

．直線與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，OD的中點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，B為頂點(diǎn)的三角形與△OBA相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線解析式與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用：△ACD∽△ABO求出AD、CD，再根據(jù)EF是梯形OBCD的中位線求出EF的長(zhǎng)進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先確定△OPB的直角所在的定點(diǎn)然后分情況討論進(jìn)行分析和排除．

解答：解：（1）將y=0代入y=-

3

3

x+

3

解得x=3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
將x=0代入y=-

3

3

x+

3

解得y=

3

，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

）；

（2）證得：△ACD∽△ABO CD=

1

2

BO=

1

2

3

，AD=OD=

1

2

AO=

3

2

∵E，F(xiàn)分別為BC，OD的中點(diǎn)，CD∥BO
∴EF=

1

2

（BO+CD）=

1

2

（

3

+

1

2

3

）=

3

4

OF=

1

2

OD=

3

4

∴E（

3

4

，

3

4

） …5分

（3）當(dāng)∠OBP=90°時(shí)，如圖①若△BOP∽△OBA，則∠BOP=∠BAO=30°，BP=

3

OB=3，∴P₁（3，

3

3

）．
②若△BPO∽△OBA，則∠BPO=∠BAO=30°，OP=

3

3

OB=1．
∴P₂（1，

3

）．
當(dāng)∠OPB=90°時(shí)③過(guò)點(diǎn)P作OP⊥BC于點(diǎn)P（如圖②），此時(shí)△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M．
方法一：在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

；PM=

3

OM=

3 3

4

．
∴（

3

4

，

3 3

4

）．
方法二：設(shè)P（x，-

3

3

x+

3

），得OM=x，PM=-

3

3

x+

3

，由∠BOP=∠BAO，得∠POM=∠ABO．
∵tan∠POM=

PM

OM

=tan∠ABO=

OA

OB

=

3

．
∴-

3

3

x+

3

=

3

x，解得x=

3

4

．此時(shí)，（

3

4

，

3 3

4

）．
④若△POB∽△OBA（如圖③），則∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=OM=

3

4

．
∴P₄（

3

4

，

3

4

）（由對(duì)稱性也可得到點(diǎn)P₄的坐標(biāo)）．
當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，不符合要求．
綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是：P₁（3，

3

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）． …做出一種情況1分

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了一次函數(shù)和相似三角形性質(zhì)相結(jié)合的問題，是典型的數(shù)形結(jié)合的題目．