Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）．下列說法：
①若△=b²-4ac＞0，那cx²+bx+a=0么一定有兩個不相等的實數(shù)根；
②若a+b+c=0，那么ax²+bx+c=0一定有一個根是1；
③若x₀是ax²+bx+c=0的一個根，那么△=(2ax0+b)2；
④若b²＞5ac，那么ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數(shù)根．
其中正確的說法的個數(shù)是（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：①△=b²-4ac＞0，判斷方程cx²+bx+a=0也一定有兩個不等的實數(shù)根，只要證明方程的判別式的值大于0即可；
②若x=1是方程ax²+bx+c=0的一個根，則代入即可作出判斷；
③難度較大，用到了求根公式表示x₀．
④根據(jù)b²＞5ac可以得到b²-4ac＞0，從而證得方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數(shù)根．

解答：解：①△=b²-4ac＞0，所以方程cx²+bx+a=0有兩個不相等的實數(shù)根，而當c=0時卻只有一個實數(shù)根，故錯誤；

②∵么ax²+bx+c=0一定有一個根是1，
∴a+b+c=0；
③若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，可得x₀=

-b± b2-4ac

2a

，
把x₀的值代入（2ax₀+b）²，可得b²-4ac=（2ax₀+b）^2；

④∵b²＞5ac，
∴b²-5ac＞0，
∴b²-4ac＞0，
∴方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等的實數(shù)根．
故選B．

點評：此題主要考查了根的判別式及其應用．尤其是④難度較大，用到了求根公式表示x₀，整體代入求b²-4ac=（2ax₀+b）²．
總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．