Question

11．根據(jù)所給材料完成第（2）、第（3）兩小題．
（1）基礎(chǔ)知識：如圖a，正方形ABCD的一個頂點B在直線EF上，且AE⊥EF，CF⊥EF，顯然，我們可以證明△ABE≌△BCF．
（2）實踐運用：如圖b，銳角△ABC的頂點C是直線l上方的一個動點，運動過程中始終保持∠ACB=45°，A、B點在直線l上，現(xiàn)分別以A、B為直角頂點，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分別過點E、F作直線l的垂線，垂足為M、N．請問在C點的運動過程中，線段EM+FN的值是否改變，說明你的理由．
（3）變化拓展：當圖b中的AB=1，其他條件不變時，隨著C點的變化，△ABC的面積也隨之變化．請直接寫出△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）先判斷出∠BAE=∠CBF，進而得出結(jié)論；
（2）同（1）的方法判斷出△AME≌△CGA，得出EM=AG，同理△BNF≌△CGB，得出FN=BG，進而得出EM+FN=AB．
（3）先判斷出點C在運動過程中，它的運動軌跡，進而確定面積最大時，點C的位置，即可求出最大值．

解答 g解：（1）∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BFC=90°}\\{∠BAE=∠CBF}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF，
（2）在C點的運動過程中，線段EM+FN的值是不發(fā)生改變，是定值為AB；
理由：如圖b，過C作CG⊥AB于G，
∵FM⊥AB，
∴∠EMA=∠AGC=90°，
∴∠EAM+∠AEM=90°，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=AC，∠CAE=90°，
∴∠CAG+∠EAM=90°，
∴∠AEM=∠CAG，
在△AME和△CGA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMA=∠AGC=90°}\\{∠AEM=∠CAG}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△CGA，
∴EM=AG，
同理得，△BNF≌△CGB，
∴FN=BG，
∴EM+FN=AG+BG=AB．
（3）如圖c，先以AB為斜邊在直線l上方作等腰直角三角形，直角頂點為O，再以點O為圓心，OA為半徑作圓，點C的運動軌跡是直線l上方的⊙O的弧上，
過點C作CH⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CH=$\frac{1}{2}$CH，要△ABC的面積最大，則CH最大，即CH過點O，
在等腰直角三角形AOB中，AB=1，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴CH最大=CO+OH=OA+OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∴S_△ABC最大=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$．
故答案為$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$．．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積的公式，極值的確定，判斷三角形確定是解本題的關(guān)鍵，面積取極值時點C的位置是解本題的難點．（第三問，也可以說成AC=BC時，三角形ABC的面積最大，此時，計算比較麻煩）