Question

9、能夠找到這樣的四個正整數，使得它們中任兩個數的積與2002的和都是完全平方數嗎？若能夠，請舉出一例；若不能夠；請說明理由．

Answer 1

分析：根據偶數的平方和為偶數，奇數得平方和為奇數，即可討論這四個數的奇偶性，再討論三個奇數的性質，即可求得其中結論矛盾，即可求得不能找到這樣的四個正整數，使得它們中任兩個數的積與2002的和都是完全平方數，即可解題．

解答：解：偶數的平方能被4整除，奇數的平方被4除余1，即正整數的平方被4除余0或1．
若存在正整數滿足n_in_j+2002=m²；i，j=1，2，3，4，n是正整數；
∵2002被4除余2，
∴n_in_j被4除應余2或3．
（1）若正整數n₁，n₂，n₃，n₄中有兩個是偶數，
設n₁，n₂是偶數，則n₁n₂+2002被4除余2，與正整數的平方被4除余0或1不符，
故正整數n₁，n₂，n₃，n₄中至多有-個是偶數，至少有三個是奇數．
（2）在這三個奇數中，被4除的余數可分為余1或3兩類，
根據抽屜原則，必有兩個奇數屬于同一類，
則它們的乘積被4除余1，與n_in_j被4除余2或3的結論矛盾．
綜上所述，不能找到這樣的四個正整數，使得它們中任兩個數的積與2002的和都是完全平方數．

點評：本題考查了奇數、偶數的性質，考查了完全平方數的性質，本題中討論四個數的奇偶性是解題的關鍵．