(2013•翔安區(qū)一模)如圖,AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C,使DC=BD,連結(jié)AC,過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為E.
(1)求證:DE為⊙O的切線;
(2)若∠BAC=60°,CE=3,則⊙O的半徑是多少?
分析:(1)證明:連接OD,由AO=BO,BD=CD得OD為△ACB的中位線,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得OD∥AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)由DE⊥AC得到DE⊥OD,于是根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°,則可判斷△ABC為等腰三角形,而∠BAC=60°,所以△ABC為等邊三角形,所以∠C=60°,AB=BC,在Rt△CED中,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CD=BD=6,則AB=12,于是有AO=6.
解答:(1)證明:如圖,連接OD,
∵AO=BO,BD=CD,
∴OD為△ACB的中位線,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切線;

(2)解:∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
又∴BD=CD,
∴△ABC為等腰三角形,
∵∠BAC=60°,
∴△ABC為等邊三角形,
∴∠C=60°,AB=BC,
∴∠CDE=30°,
在Rt△CED中,
∵CE=3,∠CDE=30°,
∴CD=BD=6,
∴AB=12,
∴AO=6,即⊙O的半徑等于6.
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.也考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
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