Question

（2012•海門市一模）兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：
（1）如圖1，△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，它的面積是否變化？如果不變請(qǐng)求出其面積；如果變化，說(shuō)明理由．
（2）如圖2，當(dāng)D點(diǎn)移到AB的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)你猜想四邊形CDBF的形狀，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，△DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連接AE，請(qǐng)你求出sin∠DEA的值．

Answer 1

分析：（1）首先利用平移的性質(zhì)得出CF=AD，CF∥AD，即可得出S_梯形CDBF=S_△ABC求出即可；
（2）首先利用CD∥BF，F(xiàn)C∥BD，得出四邊形CDBF是平行四邊形，再利用CB⊥DF即可得出四邊形CDBF是菱形；
（3）利用三角形面積得出DH的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin∠DEA的值即可．

解答：解：（1）它的面積不變，
理由：過(guò)C點(diǎn)作CG⊥AB于G，
∵△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），
∴CF=AD，CF∥AD，
在Rt△AGC中，
∵sin60°=

CG

AC

，
∴CG=

3

2

∵AB=2，
∴S_梯形CDBF=S_△ABC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

；

（2）四邊形CDBF的形狀為：菱形，
理由：∵CD∥BF，F(xiàn)C∥BD，
∴四邊形CDBF是平行四邊形，
∵DF∥AC，∠ACB=90°，
∴CB⊥DF，
∴四邊形CDBF是菱形；

（3）解法一：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AE于H，
則S_△ADE=

1

2

•AD•EB=

1

2

×1×

3

=

3

2

又S_△ADE=

1

2

•AE•DH=

3

2

，
DH=

3

AE

=

3

7

=

21

7

，
∴在Rt△DHE′中，sin∠DEA=

DH

DE

=

3

2 7

=

21

14

；
解法二：∵△ADH∽△ABE，
即：

DH

3

=

1

7

∴DH=

3

7

=

21

7

，
∴sin∠DEA=

DH

DE

=

3

2 7

=

21

14

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系以及相似三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定以及三角形面積求法等知識(shí)，利用平移性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．