Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為（1，0），OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)P滿足∠APB=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A′，若QA-QB=，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時(shí)△QAA′的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先將已知的拋物線解析式進(jìn)行配方，得出對(duì)稱軸方程后結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)可確定B點(diǎn)的坐標(biāo)，由OB=OC的條件能得到C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)的解析式．
（2）此題需要進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，首先作△ABC的外切圓，根據(jù)圓周角定理可知：P點(diǎn)應(yīng)為拋物線對(duì)稱軸與⊙E的交點(diǎn)（相關(guān)字母參考解答圖，下同），那么只需求出圓心E的坐標(biāo)和⊙E的半徑即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．首先由A、B的坐標(biāo)可確定F點(diǎn)的坐標(biāo)以及AF的長(zhǎng)，而弦BC的垂直平分線過(guò)點(diǎn)E，由此可確定該中垂線的解析式，進(jìn)一步可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)；然后在Rt△AEF中，通過(guò)解直角三角形可得到圓的半徑長(zhǎng)，由此求出全部條件．
（3）A、A′關(guān)于角平分線對(duì)稱，那么QA、QA′也關(guān)于該角平分線對(duì)稱，即QA=QA′，那么QA-QB的長(zhǎng)其實(shí)就是AB的長(zhǎng)，可由這個(gè)條件入手解答；易知點(diǎn)D、B的坐標(biāo)，能求出∠ABD的度數(shù)（或相關(guān)三角函數(shù)值），過(guò)A′作A′N⊥x軸，在構(gòu)建的Rt△A′BN中，∠A′BN的度數(shù)已求出，可得到BN、A′N的長(zhǎng)，即可求出A′的坐標(biāo)和直線A′B的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，表示出AQ、A′Q的長(zhǎng)，以這兩條線段相等作為等量條件求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．進(jìn)一步以AB為底、點(diǎn)A′、Q的縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值為高可求出△AQA′的面積．
解答：解：（1）∵y=ax²-4ax+4a+c=a（x-2）²+c，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2．
∵拋物線y=ax²-4ax+4a+c與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=3．
可得該拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3）．
∵OB=OC，拋物線與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，
∴OC=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
將點(diǎn)C（0，3）代入該解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-3）．
解得a=1．
∴此拋物線的解析式為y=x²-4x+3．（如圖1）

（2）作△ABC的外接圓☉E，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)☉E與拋物線的對(duì)稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn)P₁，點(diǎn)P₁關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P₂，點(diǎn)P₁、點(diǎn)P₂均為所求點(diǎn)．（如圖2）
可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對(duì)稱軸直線x=2上．
∵∠AP₁B、∠ACB都是弧AB所對(duì)的圓周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射線FE上的其它點(diǎn)P都不滿足∠APB=∠ACB．
由（1）可知∠OBC=45°，AB=2，OF=2．
可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線y=x上．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（2，2）．
∴由勾股定理得 EA=．
∴EP₁=EA=．
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為P₁（2，2+）．
由對(duì)稱性得點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為P₂（2，-2-）． 
∴符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（2，2+）、P₂（2，-2-）．

（3）∵點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為B（3，0）、D（2，-1），
可得直線BD的解析式為y=x-3，直線BD與x軸所夾的銳角為45°．
∵點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對(duì)稱點(diǎn)為A'，（如圖3）
若設(shè)AA'與∠AQB的平分線的交點(diǎn)為M，
則有 QA=QA'，AM=A'M，AA'⊥QM，Q，B，A'三點(diǎn)在一條直線上．
∵QA-QB=，
∴BA'=QA'-QB=QA-QB=．
作A'N⊥x軸于點(diǎn)N．
∵點(diǎn)Q在線段BD上，Q，B，A'三點(diǎn)在一條直線上，
∴A'N=BA'•sin45°=1，BN=BA'•cos45°=1．
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為A'（4，1）．
∵點(diǎn)Q在線段BD上，
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（x，x-3），其中2＜x＜3．
∵QA=QA'，
∴由兩點(diǎn)間的距離公式得 （x-1）²+（x-3）²=（x-4）²+（x-3-1）²．
解得x=．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=在2＜x＜3的范圍內(nèi)．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（，-）．
此時(shí)S_△QAA'=S_△A'AB+S_△QAB=•AB•（|y_A'|+|y_Q|）=×2×（1+）=．
點(diǎn)評(píng)：這道二次函數(shù)題由于融合了圓、解直角三角形、軸對(duì)稱圖形等重點(diǎn)知識(shí)，使得難度增加不少；（2）題中，將角相等轉(zhuǎn)化為圓的相關(guān)問(wèn)題是打開解題突破口的關(guān)鍵，應(yīng)注意并總結(jié)轉(zhuǎn)化思想在解題中的妙用．