Question

【題目】如圖所示，動(dòng)點(diǎn)A，B同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的速度都是每秒1個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)A沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)B沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，以O(shè)A，OB為鄰邊建立正方形OACB，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，假設(shè)A，B兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒：
根據(jù)
（1）直接寫(xiě)出直線OC的解析式；
（2）當(dāng)t=3秒時(shí)，求此時(shí)拋物線的解析式；此時(shí)拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得S△BCD=6？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，有一條平行于y軸的動(dòng)直線l，交拋物線于點(diǎn)E，交直線OC于點(diǎn)F，若以O(shè)、B、E、F四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（4）在動(dòng)點(diǎn)A、B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若正方形OACB內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)P，且滿足OP= ，CP=2，∠OPA=135°，直接寫(xiě)出此時(shí)AP的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形OABC是正方形，

∴∠AOC=45°，

∴直線OC的解析式為y=x

（2）解：∵t=3秒，

∴OA=OB=3，

∴點(diǎn)B（0，3），C（3，3），

將點(diǎn)B、C代入拋物線得， ，

解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+3，

設(shè)BC邊上的高為h，

∵BC=OA=3，S△BCD=6，

∴h=4，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3﹣4=﹣1，

令y=﹣1，則﹣x2+3x+3=﹣1，

整理得，x2﹣3x﹣4=0，

解得x1=﹣1，x2=4，

所以，D1（﹣1，﹣1），D2（4，﹣1）

（3）解：∵OB=3，

∴EF=3，

設(shè)E（m，﹣m2+3m+3），F(xiàn)（m，m），

若E在F上方，則，﹣m2+3m+3﹣m=3，

整理得，m2﹣2m=0，

解得m1=0（舍去），m2=2，

∴F1（2，2），

若F在E上方，則，m﹣（﹣m2+3m+3）=3，

整理m2﹣2m﹣6=0，

解得m1=1﹣ ，m2=1+ ，

∴F2（1﹣ ，1﹣ ），

F3（1+ ，1+ ）

（4）解：如圖，將△AOP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′C，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AP′=AP，P′C=OP= ，∠AP′C=∠OPA=135°，

∵△APP′是等腰直角三角形，

∴∠AP′P=45°，

∴∠PP′C=135°﹣45°=90°，

由勾股定理得，PP′= = = ，

所以，AP= PP′= × =1．

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)得出∠AOC=45°。易得直線OC的解析式為y=x.
（2）根據(jù)已知求出點(diǎn)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法就可以求出二次函數(shù)的解析式。設(shè)BC邊上的高為h，根據(jù)三角形的面積求出h的值，即可求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)D的縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式就可以 求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（3）已知O、B、E、F四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，則有OB=EF=3，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在直線y=x上，分兩種情況：點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方；點(diǎn)E在點(diǎn)F的下方，設(shè)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，根據(jù)OB=EF，建立方程求解，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)。
（4）此題用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)來(lái)解答。將△AOP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP′C，易證明APP′是等腰直角三角形，再求出∠PP′C=90°，利用勾股定理就可以求出AP的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對(duì)平行四邊形的性質(zhì)的理解，了解平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分．