Question

（2012•惠安縣質(zhì)檢）已知二次函數(shù)y=

1

4

x2的圖象與一次函數(shù)y=kx+1的圖象交于A，B兩點（A在B的左側(cè)），且A點坐標(biāo)為（-4，4）．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）若平行于x軸的直線l過（0，-1）點，試判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位（t＞0），得到的二次函數(shù)的圖象與x軸交于M，N兩點，一次函數(shù)圖象交y軸于F點．當(dāng)t為何值，過F，M，N三點的圓的面積最��？

Answer 1

分析：（1）已知了一次函數(shù)的圖象經(jīng)過A點，可將A點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，即可求出一次函數(shù)的解析式．
（2）求直線與圓的位置關(guān)系需知道圓心到直線的距離和圓的半徑長．由于直線l平行于x軸，因此圓心到直線l的距離為1．因此只需求出圓的半徑，也就是求AB的長，根據(jù)（1）中兩函數(shù)的解析式即可求出B點的坐標(biāo)，根據(jù)A、B兩點的坐標(biāo)即可求出AB的長．然后判定圓的半徑與1的大小關(guān)系即可．
（3）先設(shè)出平移后拋物線的解析式，不難得出平移后拋物線的對稱軸為x=2．因此過F，M，N三點的圓的圓心必在直線x=2上，要使圓的面積最小，那么圓心到F點的距離也要最�。ㄔO(shè)圓心為C），即F，C兩點的縱坐標(biāo)相同，因此圓的半徑就是2．C點的坐標(biāo)為（2，1）（可根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出F點的坐標(biāo)）．可設(shè)出平移后的拋物線的解析式，表示出MN的長，如果設(shè)對稱軸與x軸的交點為E，那么可表示出ME的長，然后在直角三角形MEC中根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離．即t的值．（也可根據(jù)C點的坐標(biāo)求出M，N點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出平移后的拋物線的解析式，經(jīng)過比較即可得出平移的距離，即t的值）．

解答：解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1得：k=-

3

4

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-

3

4

x+1；

  （2）由

y=- 3 4 x+1 y= 1 4 x2

，
解得

x=-4 y=4

或

x=1 y= 1 4

，
∴B(1，

1

4

)，
過A，B點分別作直線l的垂線，垂足為A'，B'，
則AA′=4+1=5，BB′=

1

4

+1=

5

4

，
∴直角梯形AA'B'B的中位線長為

5+ 5 4

2

=

25

8

，
過B作BH垂直于直線AA'于點H，則BH=A'B'=5，AH=4-

1

4

=

15

4

，
∴AB=

52+( 15 4 )2

=

25

4

，
∴AB的長等于AB中點到直線l的距離的2倍，
∴以AB為直徑的圓與直線l相切．

（3）（方法一） 平移后二次函數(shù)解析式為y=

1

4

(x-2)2-t，
令y=0，得

1

4

(x-2)2-t=0，x1=2+2

t

，x2=2-2

t

，
∵過F，M，N三點的圓的圓心一定在平移后拋物線的對稱軸上，點C為定點，B要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點F到直線x=2的距離，
此時，半徑為2，面積為4π，
設(shè)圓心為C，MN與直線x=2交于點E，連接CM，則CE⊥MN，ME=NE，CE=OF=1，
在直角三角形CEM中，ME=

22-1

=

3

，
∴MN=2

3

，而MN=|x₁-x₂|=4

t

，從而求得 t=

3

4

，
∴當(dāng)t=

3

4

時，過F，M，N三點的圓面積最��；

（方法二） 設(shè)圓心為C，半徑為r，
由y=

1

4

(x-2)2-t=0，得x1=2+2

t

，x2=2-2

t

，
∴ME=NE=2

t

則CE=

MC2-ME2

=

r2-(2 t )2

=

r2-4t

，
∴點C（2，

r2-4t

），
又F（0，1）∴由CF=r得：r2=22+(

r2-4t

-1)2，
整理得r2=4(t-

3

4

)2+4，
∴當(dāng)t=

3

4

時，過F，M，N三點的圓面積最小．

點評：此題主要考查了求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的平移、勾股定理，二次函數(shù)的最值，直線與圓的位置關(guān)系，解二元二次方程組等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵，綜合考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．