Question

如圖，矩形ABCD的頂點A、D在拋物線y=-

2

3

x2+

8

3

x上，B、C在x軸的正半軸上，且矩形始終在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里．
（1）設點A的橫坐標為x，試求矩形的周長P關于變量x的函數(shù)表達式；
（2）當點A運動到什么位置時，相應矩形的周長最大？最大周長是多少？
（3）在上述這些矩形中是否存在這樣一個矩形，它的周長為7？若存在，求出該矩形的各頂點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形和拋物線的對稱性可知：BC=AD=OE-2x，因此求矩形的周長，就必須先求出E點的坐標，根據(jù)已知拋物線的解析式，易求得E點的坐標，進而可得到BC的表達式，利用矩形的周長公式即可得到關于P、x的函數(shù)關系式．
（2）將（1）題所得函數(shù)關系式化為頂點坐標式，進而可求得P的最大值及對應的x的值．
（3）將P=7代入（1）題的函數(shù)關系式中，即可求得對應的x的值，進而可根據(jù)A點坐標和矩形各邊長的表達式求出各頂點的坐標．

解答：解：（1）令y=0，得-

2

3

x2+

8

3

x=0，
解得x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0）；（2分）
∴P=2[-

2

3

x2+

8

3

x+(4-2x)]=-

4

3

x2+

4

3

x+8，（2分）
即P=-

4

3

x2+

4

3

x+8．

（2）∵P=-

4

3

x2+

4

3

x+8=-

4

3

(x-

1

2

)2+

25

3

（2分）
∴當x=

1

2

時，P的最大值為

25

3

；（2分）
故當點A運動到（

1

2

，

7

6

）時，矩形的周長最大，且最大值為

25

3

．

（3）存在；（1分）
當P=7時，得-

4

3

x2+

4

3

x+8=7
即4x²-4x-3=0，
解得x1=-

1

2

，x2=

3

2

；（1分）
∵0＜x＜2，
∴x=

3

2

；
當x=

3

2

時，y=

5

2

，
∴B(

3

2

，0)，C(

5

2

，0)，D(

5

2

，

5

2

)．（2分）

點評：此題主要考查了矩形、拋物線的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)最值的應用等知識，難度適中．