Question

（2013•岱山縣模擬）如圖，已知拋物線y1=ax2+bx+c與拋物線y2=x2+6x+5關(guān)于y軸對(duì)稱，并與y軸交于點(diǎn)M，與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
 
（1）求拋物線y₁的解析式；
（2）若AB的中點(diǎn)為C，求sin∠CMB；
（3）若一次函數(shù)y=kx+h的圖象過(guò)點(diǎn)M，且與拋物線y₁交于另一點(diǎn)N（m，n），其中m≠n，同時(shí)滿足m²-m+t=0和n²-n+t=0（t為常數(shù)）．
①求k值；
②設(shè)該直線交x軸于點(diǎn)D，P為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以O(shè)、D、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求P點(diǎn)的坐標(biāo)．（只需直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，不要求解答過(guò)程）

Answer 1

分析：（1）對(duì)與函數(shù)y2=x2+6x+5，令x=0，可得y=5，從而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，令y=0，可求出x₁=-1，x₂=-5，從而得出拋物線y₂與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），（-5，0），結(jié)合軸對(duì)稱的知識(shí)，可設(shè)y₁=a（x-1）（x-5），將點(diǎn)M（0，5）代入，即可得出解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥MB于點(diǎn)H，求出CB、MC，及△CMB的面積，然后利用勾股定理求出MB的長(zhǎng)度，繼而可得出CH的長(zhǎng)度，在RT△MNH中可求出sin∠CMB的值；
（3）先根據(jù)題意得出直線y=kx+h中k的可能值，然后分類討論得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）對(duì)于函數(shù)y2=x2+6x+5來(lái)說(shuō)，令x=0，則y=5，
∴M（0，5），
令y=0，則x²+6x+5=0，
∴x₁=-1，x₂=-5，
∴拋物線y₂與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），（-5，0），
∵拋物線y₁、y₂關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴A（1，0），B（5，0）．…（3分）
故可設(shè)y₁=a（x-1）（x-5），將點(diǎn)M（0，5）代入，得y₁=（x-1）（x-5），即y1=x2-6x+5．…（4分）
（2）∵A（1，0），B（5，0），M（0，5），C為AB的中點(diǎn)，
∴C（3，0），CB=2，MC=

34

，
∴S_△CMB=

1

2

CB•OM=

1

2

×2×5=5，
∵OM=OB=5，
∴由勾股定理可得MB=5

2

，
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥MB于點(diǎn)H，則

1

2

×5

2

-CH=5，

∴CH=

2

，
在Rt△MCH中，sin∠CMB=

CH

MC

=

2

34

=

17

17

．
（3）①∵直線y=kx+h過(guò)點(diǎn)M（0，5），
∴h=5，
∵N（m，n）在拋物線y₁上，
∴n=m²-6m+5，
又∵m²-m+t=0，n²-n+t=0，
故兩式相減，得：m²-n²-m+n=0，即（m-n）（m+n-1）=0．
∵m≠n，
∴m+n-1=0，即n=1-m，
將n=1-m代入n=m²-6m+5得：m²-5m+4=0，
∴m₁=1，m₂=4．從而n₁=0，n₂=-3，
∴N₁（1，0），N₂（4，-3），
故將它們的坐標(biāo)分別代入y=kx+5中，得k₁=-5，k₂=-2．
②當(dāng)k=-5時(shí)，直線為y=-5x+5，此時(shí)D，N與A點(diǎn)重合．
因此滿足條件的P點(diǎn)有三個(gè)：P₁（1，5），P₂（-1，5），P₃（1，-5）．
當(dāng)k=-2時(shí)，直線為y=-2x+5，此時(shí)D（

5

2

，0）．
因此滿足條件的P點(diǎn)也有三個(gè)：P₄（

5

2

，5），P₅（-

5

2

，5），P6（

5

2

，-5）．
綜上，滿足條件的P點(diǎn)共有六個(gè)：P₁（1，5），P₂（-1，5），P₃（1，-5），P₄（

5

2

，5），P₅（-

5

2

，5），P₆（

5

2

，-5）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．