Question

【題目】△ABC，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，一條直線DE與邊AC相交于點D，與邊AB相交于點E．

（1）如圖①，若DE將△ABC分成周長相等的兩部分，則AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）

（2）如圖②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，求AD；

（3）如圖③，若DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，且DE∥BC，則a、b、c滿足什么關系？

Answer 1

【答案】（1）（a+b+c)；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)因為DE將△ABC分成周長相等的兩部分，所以AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c），于是得出結論；(2)由題意可知△ABC為直角三角形，周長為12，面積為6，由上題結論可設AD=x，則AE=6﹣x，于是有S△ADE=ADAEsinA=3，即x（6﹣x）=3，解此方程，即可求得AD值；(3)

試題解析：（1）∵DE將△ABC分成周長相等的兩部分，∴AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；即AD+AE=（a+b+c)；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC為直角三角形，由所給數(shù)據(jù)求得三角形ABC周長為12，面積為6，由上題結論可設AD=x，則AE=6﹣x，∵S△ADE=ADAEsinA=3，即：x（6﹣x）=3，解得：x1=（舍去），x2=，∴AD=；（3）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE:S△ABC=1：2,又因為面積比等于相似比的平方，∴AD=b，AE=c，∴b+c=（a+b+c），即（b+c)=a+b+c,整理得：.故a、b、c滿足.