Question

已知：如圖，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF=CE，連結(jié)DF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)OG．
（1）說明：△BCE≌△DCF；
（2）OG與BF有什么位置關(guān)系？說明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠BCE=∠DCF=90°，BC=DC，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可．
（2）根據(jù)全等得出∠F=∠BEC，∠FDC=∠CBE=∠DBE，求出∠BEC=∠BDF=∠F，推出BD=BF，求出BG⊥DF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出DG=FG，根據(jù)三角形中位線求出即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCE=∠DCF=90°，BC=DC，
在△BCE和△DCF中

BC=CD ∠BCE=∠DCF CE=CF

∴△BCE≌△DCF（SAS）．

（2）OG∥BF，
理由是：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠FDC，∠F=∠BEC，
∵BG平分∠DBC，
∴∠DBG=∠CBE=∠FDC，
∴∠BEC=∠DBG+∠BDC=∠FDC+∠BDC=∠BDF，
∴∠BDF=∠F，
∴BD=BF，
∵∠BCE=90°，
∴∠EBC+∠BEC=90°，
∵∠FDC=∠CBE，∠DEG=∠BEC，
∴∠FDC+∠DEG=90°，
∴∠BGD=180°-90°=90°，
∴BG⊥DF，
∵BD=BF，
∴GD=FG，
∵BO=OD，
∴OG∥BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．