Question

“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的問(wèn)題，但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”．下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=

1

x

的圖象交于點(diǎn)P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R．分別過(guò)點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=

1

3

∠AOB．要明白帕普斯的方法，請(qǐng)研究以下問(wèn)題：
（1）設(shè)P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

），求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（2）分別過(guò)點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q．請(qǐng)說(shuō)明Q點(diǎn)在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=

1

3

∠AOB；
（3）應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論，你如何三等分一個(gè)鈍角（用文字簡(jiǎn)要說(shuō)明）．

Answer 1

分析：（1）直線OM是正比例函數(shù)，可利用所給的坐標(biāo)得到M的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)所給的點(diǎn)的坐標(biāo)得到Q的坐標(biāo)，看是否符合（1）中的函數(shù)解析式；運(yùn)用矩形的性質(zhì)，作圖過(guò)程中的條件，外角與不相鄰內(nèi)角的關(guān)系，即可得證；
（3）既然能作出銳角的三等分角，先將此鈍角的一半（銳角）三等分，再作鈍角的三等分角．

解答：解：（1）設(shè)直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

）．（1分）
則M（b，

1

a

），
∴k=

1

a

÷b=

1

ab

．（2分）
∴直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

ab

x．（3分）

（2）∵Q的坐標(biāo)（a，

1

b

），滿足y=

1

ab

x，
∴點(diǎn)Q在直線OM上．
∵四邊形PQRM是矩形，
∴SP=SQ=SR=SM=

1

2

PR．
∴∠SQR=∠SRQ．（5分）
∵PR=2OP，
∴PS=OP=

1

2

PR．
∴∠POS=∠PSO．（6分）
∵∠PSQ是△SQR的一個(gè)外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．
∴∠POS=2∠SQR．（7分）
∵QR∥OB，
∴∠MOB=∠SQR．（8分）
∴∠POS=2∠MOB．（9分）
∴∠MOB=

1

3

∠AOB．（10分）

（3）①先做出鈍角的一半，按照上述方法先將此鈍角的一半（銳角）三等分，進(jìn)而做出再做一個(gè)角與已做得的角相等即可得到鈍角的三等分角．
②先作鈍角的鄰補(bǔ)角的三等分角，然后再以得到的三等分角作等邊三角形可得鈍角的三等分角，在鈍角內(nèi)作做出這個(gè)角即可．

點(diǎn)評(píng)：過(guò)某個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)適合這個(gè)函數(shù)解析式．注意使用作圖過(guò)程中利用的條件．