Question

定義：把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成封閉圖形，我們把這個(gè)封閉圖形稱為“蛋圓”．如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，8），AB為半圓的直徑，半圓的圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為3．
（1）請(qǐng)你直接寫(xiě)出“蛋圓”拋物線部分的解析式y(tǒng)

 

，自變量的取值范圍是

 

；
（2）請(qǐng)你求出過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)半圓的對(duì)稱性求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)寫(xiě)出x的取值范圍；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)C的切線與x軸相交于E，連接CM，根據(jù)同角的余角相等求出∠CEO=∠MCO，然后根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似求出△COE和△MOC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出OE，然后寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；
（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線解析式為y=kx+8，與拋物線解析式聯(lián)立，消掉未知數(shù)y得到關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)相切只有一個(gè)交點(diǎn)△=0列式求解即可．

解答：解：（1）∵半圓的圓心M的坐標(biāo)為（1，0），半圓半徑為3，
∴A（-2，0），B（4，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
則

4a-2b+c=0 16a+4b+c=0 c=8

，
解得

a=-1 b=2 c=8

，
∴“蛋圓”拋物線部分的解析式y(tǒng)=-x²+2x+8（-2≤x≤4）；
故答案為：=-x²+2x+8；-2≤x≤4．

（2）如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)C的切線與x軸相交于E，連接CM，
∵CE與半圓相切，
∴CE⊥CM，
∴∠OCE+∠MCO=90°，
∵∠CEO+∠ECO=90°，
∴∠CEO=∠MCO，
又∵∠COE=∠MOC=90°，
∴△COE∽△MOC，
∴

OE

OC

=

OC

OM

，
由勾股定理得，OC=

32-12

=2

2

，
∴OE=

OC2

OM

=

(2 2 )2

1

=8，
∴過(guò)點(diǎn)C的“蛋圓”切線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，0）；

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線解析式為y=kx+8，
聯(lián)立

y=-x2+2x+8 y=kx+8

，
消掉y得，x²+（k-2）x=0，
∵直線與“蛋圓”拋物線相切，
∴△=（k-2）²=0，
解得k=2，
∴過(guò)點(diǎn)D的“蛋圓”切線的解析式為y=2x+8．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的定義，讀懂題目信息，理解“蛋圓”的定義是解題的關(guān)鍵．