Question

商場舉辦一次迎亞運(yùn)抽大獎(jiǎng)的活動(dòng)，將五張亞運(yùn)吉祥物的圖片都平均分成上、下兩段，制成十幅同樣大小的卡片，然后將上、下兩段分別混合均勻，放人兩只密閉的盒子里，由顧客從兩個(gè)盒子中各隨機(jī)抽取一張，若兩張卡片剛好拼成一個(gè)吉祥物的圖案，即可獲得獎(jiǎng)品．
（1）請用樹形圖或列表法求出顧客抽取一次獲得獎(jiǎng)品的概率；
（2）為增強(qiáng)活動(dòng)的趣味性，商場在兩個(gè)盒子中分別放入同樣多的空白卡片若干張．小明對顧客抽取的結(jié)果中出現(xiàn)“至少一張空白卡片”的次數(shù)做了大量的統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

抽取卡片次數(shù)	30	50	80	100	150	180	240	300	400
出現(xiàn)“至少一張空白卡片”的次數(shù)	23	38	59	74	113	135	181	224	300
出現(xiàn)“至少一張空白卡片”的頻率	0.77	0.76	0.75	0.74	0.75	0.75	0.75	0.75	0.75

如果實(shí)驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“至少一張空白卡片”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，試估計(jì)抽取一次出現(xiàn)“至少一張空白卡片”的概率（精確到0.01）；
（3）設(shè)商場在兩個(gè)盒子中分別放入的空白卡片x張，根據(jù)（2），求出x的值．

Answer 1

解：（1）設(shè)第一個(gè)盒子，五張卡片分別為：A、B、C、D、E，
第二個(gè)盒子，五張卡片分別為：a、b、c、d、e，
樹形圖如下：
，
∴得到Aa，Bb，Cc，Dd，Ee一共有5種情況，所有的可能為25種，
∴顧客抽取一次獲得獎(jiǎng)品的概率為：；

（2）根據(jù)表格可知：“至少一張空白卡片”的概率為：0.75；

（3）根據(jù)題意知：
第一個(gè)盒子共有（5+x）張卡，
第二個(gè)盒子共有（5+x）張卡，
則共有（5+x）²種可能性，
“至少一張空白卡片”共有x（10+x）種可能性
則：=0.75，
化簡得：x²+10x-75=0，
解得：x₁=5，x₂=-15（不合題意舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)得出x=5是原方程的根，
答：x的值為5．
分析：（1）設(shè)第一個(gè)盒子，五張卡片分別為：A、B、C、D、E，第二個(gè)盒子，五張卡片分別為：a、b、c、d、e，進(jìn)而得出樹狀圖，求出概率即可；
（2）利用表格數(shù)據(jù)直接得出概率即可；
（3）首先根據(jù)題意得到共有（5+x）²種可能性，“至少一張空白卡片”共有x（10+x）種可能性，進(jìn)而解方程得出即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率以及分式方程的應(yīng)用和樹狀圖法求概率，此題難度較大，得出“至少一張空白卡片”共有x（10+x）種可能性是解題關(guān)鍵．