Question

解方程：（4x+1）（3x+1）（2x+1）（x+1）=3x⁴．

Answer 1

解：∵（4x+1）（3x+1）（2x+1）（x+1）=3x⁴，
?[（4x+1）（x+1）][（2x+1）（3x+1）]=3x⁴，
?（1+5x+4x²）（1+5x+6x²）=3x⁴，
設t=5x²+5x+1，
則原方程轉化為（t-x²）（t+x²）=3x²，
即t²=4x⁴，
∴t=2x²或t=-2x²，
當t=2x²時，即5x²+5x+1=2x²，
解得x=，
當t=-2x²時，即5x²+5x+1=-2x²，7x²+5x+1=0，
△=25-28=-3＜0，
所以此時無解．
所以（4x+1）（3x+1）（2x+1）（x+1）=3x⁴的解是x=．
分析：首先將原方程轉化為（1+5x+4x²）（1+5x+6x²）=3x⁴．令t=5x²+5x+1，原方程用t表示為（t-x²）（t+x²）=3x²，即可解得t與x的關系．再將t=5x²+5x+1，代入所求結果，解得x即為所求的值．
點評：解決本題的關鍵是通過換元令t=5x²+5x+1，簡化解題的過程．