Question

如圖拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0，－1)．且對稱抽x＝1．

(1)求出拋物線的解析式及A、B兩點的坐標；

(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為3．若存在，求出點D的坐標；若不存在．說明理由(使用圖1)；

(3)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出所有滿足條件的點P的坐標(使用圖2)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線與y軸交于點C(0．－1)．且對稱抽x＝l． 　　∴，解得：， 　　∴拋物線解析式為y＝x2－x－1， 　　令x2－x－1＝0，得：x1＝－1，x2＝3， 　　∴A(－1，0)，B(3，0)， 　　(2)設在x軸下方的拋物線上存在D(a，a2－a－1)(0＜a＜3)使四邊形ABCD的面積為3． 　　作DM⊥x軸于M，則S四邊形ABDC＝S△AOC＋S梯形OCDM＋S△BMD， 　　∴S四邊形ABCD＝|xAyC|＋(|yD|＋|yC|)xM＋(xB－xM)|yD| 　�。�×1×1＋[－(a2－a－1)＋1]×a＋(3－a)[－(a2－a－1)] 　�。剑�a2＋a＋2， 　　∴由－a2＋a＋2＝3， 　　解得：a1＝1，a2＝2， 　　∴D的縱坐標為：a2－a－1＝－或－1， 　　∴點D的坐標為(1，)，(2，－1)； 　　(3)①當AB為邊時，只要PQ∥AB，且PQ＝AB＝4即可，又知點Q在y軸上，所以點P的橫坐標為－4或4， 　　當x＝－4時，y＝7；當x＝4時，y＝； 　　所以此時點P1的坐標為(－4，7)，P2的坐標為(4，)； 　�、诋擜B為對角線時，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，線段AB中點為G，PQ必過G點且與y軸交于Q點，過點P作x軸的垂線交于點H， 　　可證得△PHG≌△QOG， 　　∴GO＝GH， 　　∵線段AB的中點G的橫坐標為1， 　　∴此時點P橫坐標為2， 　　由此當x＝2時，y＝－1， 　　∴這是有符合條件的點P3(2，－1)， 　　∴所以符合條件的點為：P1的坐標為(－4，7)，P2的坐標為(4，)；P3(2，－1)．