Question

9．如果m，n是正實數(shù)，方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有實數(shù)解，那么m+n的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由兩方程均有實數(shù)根結合根的判別式即可得出m²＞8n、n²≥m，由m、n均為正實數(shù)即可得出m（m³-64）≥0，解之即可得出m≥4，再根據(jù)n²≥m即可得出n≥2，取m、n的最小值即可得出m+n的最小值．

解答 解：∵方程x²+mx+2n=0和方程x²+2nx+m=0都有實數(shù)解，
∴△=m²-8n≥0，△=4n²-4m≥0，
∴m²＞8n，n²≥m．
∵m，n是正實數(shù)，
∴m⁴≥64n²≥64m，即m（m³-64）≥0，
∴m≥4，m的最小值為4；
又∵n²≥m，m≥4，
∴n≥2，n的最小值為2．
∴m+n的最小值為6．
故選D．

點評 本題考查了根的判別式，熟練掌握當方程有實數(shù)根時，根的判別式△=b²-4ac≥0是解題的關鍵．