Question

在△ABC中,AB＝BC＝2,∠ABC＝120°,將△ABC繞點B順時針旋轉角?(0°＜α＜90°)得△A1BC1,A1B交AC于點E,A1C1分別交AC,BC于D,F兩點．(12分)

???????????????? 圖(a)????????????????????????????????????? 圖(b)

(1)如圖(a),觀察并猜想,在旋轉過程中,線段EA1與FC是怎樣的數(shù)量關系?并證明你的結論;

(2)如圖(b),當α＝30°時,試判斷四邊形BC1DA的形狀,并說明理由;

(3)在(2)的情況下,求ED的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）EA1=FC．理由見解析;（2）四邊形BC1DA是菱形．理由見解析;（3）ED=2﹣．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等邊對等角的性質可得∠A=∠C,再根據(jù)旋轉的性質可得∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1,然后利用“角邊角”證明△ABE和△C1BF全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=BF,從而得解;

（2）先根據(jù)旋轉的性質求出∠ABC1=150°,再根據(jù)同旁內角互補,兩直線平行求出AB∥C1D,AD∥BC1,證明四邊形BC1DA是平行四邊形,又因為鄰邊相等,所以四邊形BC1DA是菱形;

（3）過點E作EG⊥AB于點G,等腰三角形三線合一的性質可得AG=BG=1,然后解直角三角形求出AE的長度,再利用DE=AD﹣AE計算即可得解．

試題解析：（1）EA1=FC．理由如下：

∵AB=BC,∴∠A=∠C,

∵△ABC繞點B順時針旋轉角α得△A1BC1,

∴∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1,

在△ABE和△C1BF中,,

∴△ABE≌△C1BF（ASA）,

∴BE=BF,

∴A1B﹣BE=BC﹣BF,

即EA1=FC;

（2）四邊形BC1DA是菱形．理由如下：

∵旋轉角α=30°,∠ABC=120°,

∴∠ABC1=∠ABC+α=120°+30°=150°,

∵∠ABC=120°,AB=BC,

∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°,

∴∠ABC1+∠C1=150°+30°=180°,

∠ABC1+∠A=150°+30°=180°,

∴AB∥C1D,AD∥BC1,

∴四邊形BC1DA是平行四邊形,

又∵AB=BC1,

∴四邊形BC1DA是菱形;

（3）過點E作EG⊥AB,

∵∠A=∠ABA1=30°,

∴AG=BG=AB=1,

在Rt△AEG中,AE=,

由（2）知AD=AB=2,

∴ED=AD﹣AE=2﹣．

考點：1.旋轉的性質,2.全等三角形的判定與性質,3.菱形的判定,4.解直角三角形．