Question

如圖所示：直線MN⊥RS于點O，點B在射線OS上，OB=2，點C在射線ON上，OC=2，點E是射線OM上一動點，連結EB，過O作OP⊥EB于P，連結CP，過P作PF⊥PC交射線OS于F。

（1）求證：△POC∽△PBF。

（2）當OE=1，OE=2時， BF的長分別為多少？當OE=n時，BF=_______.

（3）當OE=1時，；OE=2時， ；…,OE=n時，.則=_______.（直接寫出答案）

備用圖

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵∠OPB=∠CPF 

∴∠OPC=∠BPF ,

∵∠EOP=∠EOB=90，

∴∠EOP=∠OBP 

∴∠POC=∠PBF

∴⊿POC∽⊿PBF               

(2) 解∵ ⊿POC∽⊿PBF

          ∴OC/BF=PO/PB

∵⊿OPB∽⊿EOB

∴PO/PB=OE/OB

∴OC/BF= OE/OB

∴OE.BF=OC.OB=4               

∴當OE=1時，BF=4;

當OE=2時，BF=2，當OE=n時，BF=4/n.

（3）根據題意得；=2n；

【解析】（1）根據∠OPB=∠CPF，得出∠OPC=∠BPF，再根據∠EOP=∠EOB=90，得出∠EOP=∠OBP，∠POC=∠PBF，即可證出△POC∽△PBF；              

（2）根據△POC∽△PBF，得出OC/BF =PO/PB ，再根據△OPB∽△EOB，得出OE•BF=OC•OB=4，即可求出BF的長；

（3）根據已知條件當OE=1時，S_△EBF=S₁；OE=2時，S_△EBF=S₂；…，OE=n時，S_△EBF=S_n即可求出S₁+S₂+…+S_n=2n