Question

（2010•無錫）如圖1是一個三棱柱包裝盒，它的底面是邊長為10cm的正三角形，三個側面都是矩形．現將寬為15cm的彩色矩形紙帶AMCN裁剪成一個平行四邊形ABCD（如圖2），然后用這條平行四邊形紙帶按如圖3的方式把這個三棱柱包裝盒的側面進行包貼（要求包貼時沒有重疊部分），紙帶在側面纏繞三圈，正好將這個三棱柱包裝盒的側面全部包貼滿．
（1）請在圖2中，計算裁剪的角度∠BAD；
（2）計算按圖3方式包貼這個三棱柱包裝盒所需的矩形紙帶的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意先求得AB=30cm，由紙帶的寬為15cm，根據三角函數求得∠BAD=30°；
（2）由三棱柱的側面展開圖求出BC和MB的長，即是所需的矩形紙帶的長度．
解答：解：（1）由圖2的包貼方法知：
∵AB的長等于三棱柱的底邊周長，
∴AB=30cm，
∵紙帶的寬為15cm，
∴sin∠BAD=sin∠ABM===，
∴∠BAD=30°；

（2）在圖3中將三棱柱沿過點A的側棱剪開，得知如圖甲的側面展開圖．

將圖甲的△ABF向左平移30cm，△CDE向右平移30cm，拼成如圖乙中的平行四邊形AMCN，此平行四邊形即為圖2中的平行四邊形ABCD．
由題意得：圖2中的BC=圖乙中的AM=2AE=2AB÷cos∠EAB=60÷cos30°=40（cm），
故所需的矩形紙帶的長度為MB+BC=30×cos30°+40=55cm．
點評：本題是一道立體圖形的側面展開，結合三角函數進行計算是一道綜合題，難度較大．