Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在AB、BC、CD、AD上，若∠1=∠2=∠3=∠4，則四邊形EFGH的周長是（　　）

A．5

B．7

C．10

D．14

Answer 1

分析：先求出∠HEF=∠FGH，再求出∠EFG=∠EHG，然后判定四邊形EFGH是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得EF=HG，F(xiàn)G=EH，然后得到△BEF和△DGH全等，△AEH和△CGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得HD=BF，BE=DG，再根據(jù)△AEH和△BEF相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出

AE

AH

=

3

4

，設(shè)AE、AH分別為3k、4k，根據(jù)勾股定理求出EH，再表示出BE、BF，根據(jù)勾股定理表示出EF，然后EF+EH正好消掉k，再根據(jù)平行四邊形的周長公式列式進(jìn)行計算即可得解．

解答：解：∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠HEF=180°-∠3-∠4，∠FGH=180°-∠1-∠2，
∴∠HEF=∠FGH，
又∵∠EFG=180°-（90°-∠4）-（90°-∠2）=∠2+∠4，
∠EHG=180°-（90°-∠3）-（90°-∠1）=∠1+∠2，
∴∠EFG=∠EHG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
易得△BEF≌△DGH，△AEH≌△CGF，
∴HD=BF，BE=DG，
∵∠3=∠4，∠A=∠B=90°，
∴△AEH∽△BEF，
∴

AE

BE

=

AH

BF

，
即

AE

3-AE

=

AH

4-AH

，
整理得，

AE

AH

=

3

4

，
設(shè)AE、AH分別為3k、4k，在Rt△AEH中，EH=

AE2+AH2

=

(3k)2+(4k)2

=5k，
在Rt△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

(3-3k)2+(4-4k)2

=5（1-k），
∴EF+EH=5（1-k）+5k=5，
四邊形EFGH的周長=2（EF+EH）=2×5=10．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出

AE

AH

=

3

4

是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．