Question

15．在平面直角坐標系xOy中，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C，D都在第一象限．
（1）當∠BAO=45°時，求點P的坐標；
（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；
（3）設點P到x軸的距離為n，試確定n的取值范圍，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明四邊形AOBP是正方形，根據(jù)邊長為2的正方形ABCD求OA的長，寫出點P的坐標；
（2）作輔助線，根據(jù)角平分線性質定理的逆定理，只要再證明PG=PH即可，根據(jù)證明△PGB≌△PHA，可以得出結論；
（3）當點B與O重合時，如圖3，n最小，當BD∥x軸時，如圖1，此時點P到x軸的距離為PA，此時n最大，分別求出即可．

解答 解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，∠BAO=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=OA，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAP=45°，AC⊥BD，
∴∠OAP=45°+45°=90°，∠APB=90°，
∴∠AOB=∠OAP=∠APB=90°，
∴四邊形AOBP是矩形，
∵OB=OA，
∴矩形AOBP為正方形，
∵AB=2，
∴OA=AP=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；
（2）如圖2，過P作PG⊥y軸于G，PH⊥x軸于H，
∵∠PGO=∠GOH=∠OHP=90°，
∴∠GPH=90°，
∴∠GPB+∠BPH=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠BPH+∠APH=90°，
∴∠GPB=∠APH，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴PB=PA，
∵∠PGB=∠PHA=90°，
∴△PGB≌△PHA，
∴PG=PH，
∴點P都在∠AOB的平分線上，
即無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；
（3）當點B與O重合時，如圖3，
△ABP是等腰直角三角形，
∴PH=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴此時n=1，
當BD∥x軸時，如圖1，此時點P到x軸的距離為PA，即n=PA=$\sqrt{2}$，
∴1＜n≤$\sqrt{2}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質、矩形的性質和判定、等腰直角三角形、三角形全等的性質和判定，熟練掌握正方形和等腰直角三角形的性質是關鍵，注意圖形與坐標特點．