Question

如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（Ⅰ）若設(shè)AP=x，則PC=

 

，QC=

 

；（用含x的代數(shù)式表示）
（Ⅱ）當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；
（Ⅲ）在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（Ⅰ）由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6-x，QB=x，
（Ⅱ）在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=

1

2

QC，即6-x=

1

2

（6+x），求出x的值即可；
（Ⅲ）作QF⊥AB，交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，可知AP=BQ，
再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=

1

2

AB，由等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6可得出DE=3，故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

解答：解：（Ⅰ）∵△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
設(shè)AP=x，則PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
故答案為：6-x，6+x；
（Ⅱ）
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=

1

2

QC，即6-x=

1

2

（6+x），解得x=2，
∴AP=2；

（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．理由如下：
作QF⊥AB，交直線AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵點(diǎn)P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，

∠AEP=∠BFQ ∠A=∠FBQ AP=BQ

，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=

1

2

AB，
又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，
∴DE=3，
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長(zhǎng)度不會(huì)改變．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．