Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，過D作DE⊥AC于E．
（1）求證：AB=AC；
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）若⊙O的半徑為3，切線長DE=，求cos∠C的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，AB是直徑可得∠ADB=∠ADC=90°，而D是中點(diǎn)則有BD=CD，結(jié)合AD=AD，易證△ABD≌△ACD，從而有AB=AC；
（2）連接OD，由O、D是中點(diǎn)易證OD是△ABC的中位線，那么OD∥AC，于是∠ODE=∠CED=90°，即DE是⊙O的切線；
（3）由于∠4+∠3=90°，∠C+∠3=90°，易得∠4=∠C，而∠1=∠2，易證△AED∽△DEC，從而有，由于OA=3，那么AB=AC=6，于是可設(shè)AE=x，則CE=6-x，代入比例關(guān)系式，易求得x₁=2，x₂=4，從而可分兩種情況來討論：①當(dāng)AE=x₁=2時，CE=6-2=4，利用勾股定理可先求CD，從而易求cos∠C；②當(dāng)AE=x₂=4時，CE=6-4=2，解法同①．
解答：（1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°①，
又∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD②，
而AD=AD③，
由①②③得△ABD≌△ACD（SAS），
∴AB=AC；

（2）證明：連接OD，
∵O是AB的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（3）解：在Rt△AED中，∠4+∠3=90°，
在Rt△ADC中，∠C+∠3=90°，
∴∠4=∠C，
又∵∠2=∠1，
∴△AED∽△DEC，
∴④，
∵⊙O的半徑為3，
∴AB=AC=6，
設(shè)AE=x，則CE=6-x，
又，
代入④得，
解得x₁=2，x₂=4，
①當(dāng)AE=x₁=2時，CE=6-2=4，
在Rt△DEC中，=，
∴，
②當(dāng)AE=x₂=4時，CE=6-4=2，=，
∴．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的計算．解題的關(guān)鍵是連接OD、AD，構(gòu)造直角三角形和平行線．