Question

?ABCD中，AB=10（AB＞AD），AD與BC之間的距離為6，點(diǎn)E在線段AB上移動，以E為圓心，AE長為半徑作⊙E．
（1）如圖1，若⊙E與BC所在的直線相切，求AE之長；
（2）如圖2，若E點(diǎn)是∠DCB的角平分線與AB的交點(diǎn)，這時若⊙E與BC所在的直線相切于點(diǎn)F．
①試說明此時⊙E也與CD所在的直線相切；
②求此時AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥AD于點(diǎn)G，連接EF．利用平行線AD∥CB的性質(zhì)推知內(nèi)錯角∠DAB=∠ABF；然后在Rt△ABG和Rt△BEF中根據(jù)三角函數(shù)的定義求得==，利用比例的性質(zhì)即可求得AE的值；
（2）①如圖2，過圓心E作EG垂直于CD所在的直線于點(diǎn)G，連接EF．利用切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)推知GE=EF，即點(diǎn)G也在⊙E上，所以⊙E與CD所在的直線相切；
②根據(jù)圖形知BE=AB-AE=；由平行線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)推知AD=BC=EB=．
解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥AD于點(diǎn)G，連接EF．
∵AD與BC之間的距離為6，
∴BG=6；
∴sin∠DAB===；
又∵CF是⊙E的切線，
∴EF⊥CF，
∴sin∠BEF=；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC（平行四邊形的對邊相互平行），
∴∠DAB=∠ABF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；
∵AE=EF（⊙E的半徑），
∴=，即=，
∴AE=；

（2）①如圖2，過圓心E作EG垂直于CD所在的直線于點(diǎn)G，連接EF．
∵CF是⊙E的切線，點(diǎn)F是切點(diǎn)，
∴EF⊥CF；
又∵E點(diǎn)是∠DCB的角平分線與AB的交點(diǎn)，
∴EG=EF（角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等），
∴點(diǎn)G在⊙E上，
∴⊙E與CD所在的直線相切；
②如圖2，延長FE交AD于點(diǎn)H．
∵EF⊥CF，CF∥AD，
∴HF⊥AD；
又∵=（平行線截線段成比例），HE=6，AE=EF（⊙E的半徑），
∴=，
∴AE=，
∴BE=AB-AE=10-=；
∵CD∥AB（平行四邊形的對邊平行），
∴∠DCE=∠CEB；
∵∠DCE=∠BCE（角平分線的性質(zhì)），
∴∠CEB=∠ECB（等量代換），
∴EB=CB（等角對等邊）；
∵AD=BC（平行四邊形的對邊相等），
∴AD=BE=．
點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：解直角三角形、切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的綜合運(yùn)用．