Question

如圖長(zhǎng)方形ABCD，E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊后的△GBE，且點(diǎn)G在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)BG交DC于F，
（1）求證：GF=DF；
（2）若DC=2DF，求

AD

AB

的值；
（3）若DC=nDF，且

AD

AB

=

2 3

3

，則n=

3

．

Answer 1

分析：（1）連接EF，由圖形翻折變換的性質(zhì)可知，∠A=∠EGB=90°，AE=EG，由HL定理可得出Rt△EGF≌Rt△EDF，故可得出結(jié)論；
（2）可設(shè)DF=x，BC=y；進(jìn)而可用x表示出DC、AB的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)知AB=BG，即可得到BG的表達(dá)式，由（1）證得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表達(dá)式，進(jìn)而可在Rt△BFC中，根據(jù)勾股定理求出x、y的比例關(guān)系，即可得到

AD

AB

的值；
（3）同（2）可用n表示出

AD

AB

的值，再根據(jù)

AD

AB

=

2 3

3

即可求出n的值．

解答：（1）證明：連接EF，
∵△BGE由△BAE翻折而成，
∴∠A=∠EGB=90°，AE=EG，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=EG=DE，
∴

∠EGF=∠D=90° EG=DE EF=EF

∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF，設(shè)DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²
∴y=2

2

x，
∴

AD

AB

=

y

2x

=

2

；

（3）由（1）知，GF=DF，設(shè)DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²
∴y=2x

n

，
∴

AD

AB

=

y

nx

=

2 n

n

，
∵

AD

AB

=

2 3

3

，
∴n=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形的反折變換，涉及到矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度適中．