Question

（2013•黃岡）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A₁位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為

6π

．

Answer 1

分析：如圖根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是三段：①以90°為圓心角，AD長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)；②以90°為圓心角，AB長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)；③90°為圓心角，矩形ABCD對(duì)角線長(zhǎng)為半徑的扇形的弧長(zhǎng)．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴BC=AD=3，∠ADC=90°，對(duì)角線AC（BD）=5．
∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，
∴點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A′位置時(shí)，則點(diǎn)A′經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：

90π×3

180

=

3π

2

．
同理，點(diǎn)A′第一次翻滾到點(diǎn)A″位置時(shí)，則點(diǎn)A′經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：

90π×4

180

=2π．
點(diǎn)A″第一次翻滾到點(diǎn)A₁位置時(shí)，則點(diǎn)A″經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：

90π×5

180

=

5π

2

．
則當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A₁位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為：

3π

2

+2π+

5π

2

=6π．
故答案是：6π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、矩形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)題意畫出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)軌跡，是突破解題難點(diǎn)的關(guān)鍵．