Question

【題目】如圖，在ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長與DC的延長線交于F．

（1）求證：CF=CD；

（2）若AF平分∠BAD，連接DE，試判斷DE與AF的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）DE⊥AF

【解析】

試題（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到AB∥CD，從而可得到AB∥DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組角相等，已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，從而可根據(jù)AAS來判定△BAE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等可證得AB=CF，進(jìn)而得出CF=CD；

（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AE=EF，再利用角平分線的性質(zhì)以及等角對等邊求出DA=DF，利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵點(diǎn)F為DC的延長線上的一點(diǎn)，

∴AB∥DF，

∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，

∵E為BC中點(diǎn)，

∴BE=CE，

則在△BAE和△CFE中，

，

∴△BAE≌△CFE（AAS），

∴AB=CF，

∴CF=CD；

（2）解：DE⊥AF，

理由：∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵∠BAF=∠F，

∴∠DAF=∠F，

∴DA=DF，

又由（1）知△BAE≌△CFE，

∴AE=EF，

∴DE⊥AF．