Question

4．如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，l），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B，C不重合），過點(diǎn)D作直線y=-$\frac{1}{2}$x+b交折線OAB于點(diǎn)E．
（1）若點(diǎn)E在AB邊上，求b的取值范圍；
（2）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求（2）中S的最大值；
（4）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，試探究O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得答案；
（2）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點(diǎn)E在OA邊上，只需求出這個(gè)三角形的底邊OE長（E點(diǎn)橫坐標(biāo)）和高（D點(diǎn)縱坐標(biāo)），代入三角形面積公式即可；②如果點(diǎn)E在AB邊上，這時(shí)△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；
（3）根據(jù)函數(shù)的最值在函數(shù)圖象的端點(diǎn)，可得答案；
（4）重疊部分是一個(gè)平行四邊形，由于這個(gè)平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個(gè)平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化

解答 解：（1））∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），C（0，1），
∴B（3，1）．
若直線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）時(shí)，則b=$\frac{3}{2}$，
若直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，1）時(shí)，則b=$\frac{5}{2}$．
點(diǎn)E在AB邊上，b的取值范圍是$\frac{3}{2}$≤b≤$\frac{5}{2}$；
（2）∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）時(shí)，則b=$\frac{3}{2}$
若直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，1）時(shí)，則b=$\frac{5}{2}$
若直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，1）時(shí)，則b=1
①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即1＜b≤$\frac{3}{2}$，如圖1：
，
此時(shí)E（2b，0）
∴S=$\frac{1}{2}$OE•CO=$\frac{1}{2}$×2b×1=b；
②若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即$\frac{3}{2}$＜b＜$\frac{5}{2}$，如圖2：
，
此時(shí)E（3，b-$\frac{3}{2}$），D（2b-2，1），
∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）
=3-[$\frac{1}{2}$（2b-2）×1+$\frac{1}{2}$×3（b-$\frac{3}{2}$）+$\frac{1}{2}$×（5-2b）•（$\frac{5}{2}$-b）]
=$\frac{5}{2}$b-b²，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{b（1＜b≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{5}{2}b-^{2}（\frac{3}{2}＜b＜\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)1＜b≤$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最大=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)$\frac{3}{2}$＜b＜$\frac{5}{2}$時(shí)，S=-（b-$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{16}$，
當(dāng)b=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最大=-$\frac{1}{16}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{3}{2}$，
綜上所述：當(dāng)b=$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最大=-$\frac{1}{16}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{3}{2}$；
（4）如圖3：
，
設(shè)O₁A₁與CB相交于點(diǎn)M，OA與C₁B₁相交于點(diǎn)N，則矩形O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．
由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形
根據(jù)軸對稱知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形．
過點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H，設(shè)菱形DNEM的邊長為a，
由題意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=$\frac{5}{4}$，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=$\frac{5}{4}$．
∴矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，本題是一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形中的面積是否變化的問題，看一個(gè)圖形的面積是否變化，關(guān)鍵是看決定這個(gè)面積的幾個(gè)量是否變化，本題題型新穎，是個(gè)不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區(qū)分度．