Question

如圖，正方形ABCD中，E是CD的中點，AE的垂直平分線FM交AB的延長線于F，交BC于P，連接EF，交BC于G，求EP：PC的值．

Answer 1

解：設正方形ABCD的邊長是2x，則AD=AB=CD=BC=2x，
∵E是CD的中點，
∴DE=CE=x，
∵正方形ABCD，
∴∠D=∠ABC=90°，
由勾股定理得：AE==x，
∵AB∥CD，
∴∠FAE=∠DEA，
∵AE的垂直平分線FM，
∴AM=ME=AE=x，∠AMF=∠D=90°，
∴△FMA∽△ADE，
∴=，
∴AF=x，
由勾股定理得：FM==x，
∴BF=AF-AB=x，
∵正方形ABCD，AE的垂直平分線FM，
∴∠FBP=∠FMA=90°，
∵∠PFB=∠AFM，
∴△PFB∽△AFM，
∴=，
∴BP=x，
∴CP=2x-x=x，
由勾股定理得：EP==x，
∴EP：PC的值是．
答：EP：PC的值是．
分析：設正方形ABCD的邊長是2x，則AD=AB=CD=BC=2x，DE=CE=x，根據(jù)勾股定理求出AE，求出AM，證△FMA∽△ADE，得出
=，求出AF，進一步求出BF，根據(jù)勾股定理求出FM，再證△PFB∽△AFM，得出=，求出BP=x，計算CP，根據(jù)勾股定理求出EP，代入EP：PC即可求出答案．
點評：本題主要考查對正方形的性質，線段的垂直平分線的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，平行線的性質等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質求出各線段的長是解此題的關鍵．題型較好，綜合性強．